Synthèse BTS CIEL - Les Primitives

1. Définition et Propriétés

Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \). On appelle primitive de \( f \) toute fonction \( F \) dérivable sur \( I \) telle que :

\[ F'(x) = f(x) \]

Théorème : Si \( F \) est une primitive de \( f \), alors toutes les primitives de \( f \) sont de la forme \( F(x) + k \), où \( k \) est une constante réelle.

Linéarité : La primitive d'une somme est la somme des primitives, et les constantes multiplicatives sont conservées :

\[ \text{Primitive de } (a f + b g) = a F + b G + k \]

2. Primitives des Fonctions Usuelles

Fonction \( f(x) \)	Primitive \( F(x) \)	Condition
\( a \) (constante)	\( ax + k \)
\( x^n \)	\( \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + k \)	\( n \neq -1 \)
\( \dfrac{1}{x} \)	\( \ln\|x\| + k \)	\( x \neq 0 \)
\( e^x \)	\( e^x + k \)
\( \cos(x) \)	\( \sin(x) + k \)
\( \sin(x) \)	\( -\cos(x) + k \)
\( e^{ax+b} \)	\( \dfrac{1}{a} e^{ax+b} + k \)	\( a \neq 0 \)

3. Opérations sur les Fonctions Composées

Ces formules sont essentielles pour reconnaître des formes du type \( u' \times \dots \)

Forme de \( f(x) \)	Primitive \( F(x) \)
\( u' \cdot u^n \)	\( \dfrac{u^{n+1}}{n+1} + k \)
\( \dfrac{u'}{u} \)	\( \ln\|u\| + k \)
\( u' \cdot e^u \)	\( e^u + k \)
\( \dfrac{u'}{u^2} \)	\( -\dfrac{1}{u} + k \)
\( \dfrac{u'}{\sqrt{u}} \)	\( 2\sqrt{u} + k \)

4. Application en Électricité (CIEL)

Dans un circuit, les primitives permettent de passer de grandeurs instantanées à des grandeurs accumulées :

Charge d'un condensateur : \( q(t) \) est une primitive de l'intensité \( i(t) \) car \( i(t) = \dfrac{dq}{dt} \).
Énergie : L'énergie \( W(t) \) est une primitive de la puissance \( P(t) \).

\[ q(t) = \int i(t) dt \quad ; \quad W = \int P(t) dt \]