📝 Corrigé : C106 – Les Primitives

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Exercice 1 : Calculs de Primitives Usuelles

Rappel : La primitive de \(x^n\) est \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\) et celle de \(e^{ax}\) est \(\frac{1}{a}e^{ax}\).

1. \(f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2\)

   • Terme \(4x^3\) : \(4 \times \frac{x^4}{4} = x^4\)
   • Terme \(6x^2\) : \(6 \times \frac{x^3}{3} = 2x^3\)
   • Terme \(2\) : \(2x\)
   • \(F(x) = x^4 - 2x^3 + 2x + k\)

2. \(g(x) = 5e^x\)

   • La primitive de \(e^x\) reste \(e^x\).
   • \(G(x) = 5e^x + k\)

3. \(h(x) = 3\cos(x) + 2\sin(x)\)

   • Primitive de \(\cos(x)\) est \(\sin(x)\).
   • Primitive de \(\sin(x)\) est \(-\cos(x)\).
   • \(H(x) = 3\sin(x) - 2\cos(x) + k\)

4. \(k(x) = e^{-2x}\)

   • On utilise la forme \(e^{ax}\) avec \(a = -2\).
   • \(K(x) = -\frac{1}{2}e^{-2x} + k\)

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Exercice 2 : Primitive particulière et Exponentielle

Objectif : Déterminer la valeur exacte de la constante \(k\) à partir d'une condition initiale.

1. Forme générale des primitives de \(f(t) = 12e^{-4t}\) :

   • On applique la formule \(\frac{1}{a}e^{at}\) avec \(a = -4\).
   • \(F(t) = 12 \times \left( \frac{1}{-4} e^{-4t} \right) + k\)
   • \(F(t) = -3e^{-4t} + k\)

2. Détermination de \(k\) avec la condition \(F_0(0) = 10\) :

   • \(F_0(0) = -3e^{-4 \times 0} + k = 10\)
   • \(-3e^{0} + k = 10\) (Rappel : \(e^0 = 1\))
   • \(-3 + k = 10\)
   • \(k = 10 + 3 = 13\)

3. Expression complète :

   • \(F_0(t) = -3e^{-4t} + 13\)

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Exercice 3 : Condition Initiale (Logarithme)

Rappel : La primitive de \(\frac{1}{x}\) est \(\ln(x)\) sur \(]0 ; +\infty[\).

1. Forme générale de \(g(x) = \frac{1}{x} + 1\) :

   • \(G(x) = \ln(x) + x + k\)

2. Détermination de \(G_0\) telle que \(G_0(1) = 5\) :

   • \(G_0(1) = \ln(1) + 1 + k = 5\)
   • \(0 + 1 + k = 5\) (Rappel : \(\ln(1) = 0\))
   • \(k = 4\)
   • \(G_0(x) = \ln(x) + x + 4\)

3. Valeur exacte de \(G_0(e)\) :

   • \(G_0(e) = \ln(e) + e + 4\)
   • \(G_0(e) = 1 + e + 4\) (Rappel : \(\ln(e) = 1\))
   • \(G_0(e) = e + 5\)

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Exercice 4 : Application aux Sciences Physiques

Contexte : \(u(t)\) est la primitive de \(\frac{i(t)}{C}\).

1. Expression de la tension \(u(t)\) :

   • On calcule d'abord le coefficient : \(\frac{1}{C} = \frac{1}{500 \times 10^{-6}} = 2000\).
   • On doit intégrer : \(\frac{i(t)}{C} = 2000 \times 0,05 \sin(100\pi t) = 100 \sin(100\pi t)\).
   • La primitive de \(\sin(at)\) est \(-\frac{1}{a}\cos(at)\).
   • \(u(t) = 100 \times \left( -\frac{1}{100\pi} \cos(100\pi t) \right) + k\)
   • \(u(t) = -\frac{1}{\pi} \cos(100\pi t) + k\)

2. Calcul de la constante avec \(u(0) = 0\) :

   • \(u(0) = -\frac{1}{\pi} \cos(0) + k = 0\)
   • \(-\frac{1}{\pi} \times 1 + k = 0\)
   • \(k = \frac{1}{\pi}\)
   • Expression finale : \(u(t) = -\frac{1}{\pi} \cos(100\pi t) + \frac{1}{\pi}\) ou \(u(t) = \frac{1}{\pi} \left( 1 - \cos(100\pi t) \right)\)