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TP 3: Synthèse d'Analyse - Modélisation et Moyenne d'un signal exponentiel

Objectif : Déterminer le paramètre d'un signal amorti à partir de contraintes géométriques, puis valider son étude par la dérivation et l'intégration.

Partie 1 : Détermination expérimentale du paramètre \(c\)

On cherche à modéliser un signal par la fonction suivante :
\(f(x) = x e^{-cx}\) (où \(c > 0\))

Le signal doit respecter une contrainte physique précise : 1. Présenter un maximum (tangente horizontale) à l'instant \(x = 0,5\).

Instructions GeoGebra :

  1. Créez un curseur c allant de 0.1 à 5 (incrément 0.1).

  2. Saisissez la fonction : f(x) = x * exp(-c*x).

  3. Créez un point M sur la courbe, placez-le précisément à \(x=0,5\) et tracez sa tangente (Outil Tangente).

  4. Mission : Ajustez le curseur c pour que la tangente en \(x=0,5\) soit horizontale.

  5. Note : La valeur cible à trouver est \(c = 2\).

Partie 2 : Étude du signal identifié

Utilisez maintenant la valeur trouvée (\(c = 2\)) pour analyser le comportement du signal.

  1. Étude des variations :
  2. Saisissez f'(x) pour afficher la fonction dérivée.

  3. Question : Justifiez par le calcul que la fonction est croissante sur \([0 ; 0,5]\) puis décroissante sur \([0,5 ; +\infty[\).

  4. Analyse de la pente :

  5. Placez un point N appartenant à la courbe et tracez la tangente en ce point.
  6. Déplacez le point N vers la droite (grandes valeurs de \(x\)).
  7. Observation : Pourquoi la pente de la tangente tend-elle vers 0 ? Quel terme de la fonction (\(x\) ou \(e^{-2x}\)) "gagne" sur l'autre à long terme ?

Partie 3 : Intégration et Valeur Moyenne

On souhaite évaluer la valeur moyenne du signal sur une fenêtre temporelle choisie.

  1. Configuration : Créez deux curseurs a (min 0) et b (min 0.1). Réglez a = 0 et b = 2.

  2. Calcul global : Saisissez I = Intégrale(f, a, b) pour obtenir l'aire sous la courbe.

  3. Valeur Moyenne \(\mu\) :

  4. Calculez la hauteur moyenne : `moy = I / (b - a