BTS CIEL 1 - Mathématiques

Synthèse C112 : Les Nombres Complexes

1. L'unité imaginaire \( i \)

L'ensemble \( \mathbb{C} \) contient un élément \( i \) tel que :

\[ i^2 = -1 \]

Puissances de \( i \) :

\( i^1 = i \) \( i^2 = -1 \) \( i^3 = -i \) \( i^4 = 1 \)

2. Forme Algébrique et Géométrie

Tout nombre complexe s'écrit sous la forme \( z = a + ib \).

Conjugué : \( \overline{z} = a - ib \)

Module : \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)

3. Formes Trigonométrique et Exponentielle

Pour un nombre complexe \( z \) de module \( r \) et d'argument \( \theta \) :

Trigonométrique : \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \)

Exponentielle : \( z = r e^{i\theta} \)

Valeurs remarquables :

\( \theta \) (rad) 0 \( \frac{\pi}{6} \) \( \frac{\pi}{4} \) \( \frac{\pi}{3} \) \( \frac{\pi}{2} \)
\( \cos \theta \) 1 \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \frac{1}{2} \) 0
\( \sin \theta \) 0 \( \frac{1}{2} \) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 1

4. Résolution d'Équations (\( 2^{nd} \) degré)

Pour \( az^2 + bz + c = 0 \) avec \( a, b, c \) réels :

Si \( \Delta < 0 \), les solutions sont deux complexes conjugués :

\[ z_1 = \frac{-b + i\sqrt{|\Delta|}}{2a} \quad ; \quad z_2 = \overline{z_1} \]