CCF Blanc 02 Mathématiques – BTS CIEL 1ère année

Session CIEL 1ère année 2026

Durée : 55 minutes Documents autorisés : Calculatrice graphique, logiciel GeoGebra

Contexte général

En télécommunications, le gain d'un amplificateur peut varier selon la tension de commande. On modélise le gain \(G\) (en décibels) en fonction de la tension \(x\) (en volts) sur l'intervalle \([1 ; 10]\) par : \(f(x) = A \ln(x) + Bx\)

Partie 1 – Configuration des paramètres

Avant d'étudier le signal, le technicien doit configurer l'amplificateur pour qu'il réponde à deux contraintes techniques :

Pour une tension nulle de référence (\(x = 1\text{ V}\)), le gain doit être exactement de \(5\text{ dB}\).
Pour stabiliser le signal, le gain doit atteindre son minimum pour une tension de \(4\text{ V}\).

1.1 – Question préliminaire

Justifier que cette fonction est bien définie sur \(]0; +\infty[\).
Si \(A<0\) et \(B>0\), justifier que \(\displaystyle\lim_{t \to 0} f(x)=+\infty\)

1.2 – Détermination assistée par ordinateur

✋ Appel professeur n°1 : 1. Sur GeoGebra, créer deux curseurs pour les paramètres \(A\) (allant de \(-50\) à \(0\)) et \(B\) (allant de \(0\) à \(20\)).

Saisir la fo nction \(f(x) = A \ln(x) + Bx\).

En manipulant les curseurs, trouver les valeurs entières de \(A\) et \(B\) permettant de vérifier les deux contraintes citées plus haut.

Noter ces valeurs sur votre copie et montrer au professeur que votre courbe passe par le point \((1 ; 5)\) et possède un minimum en \(x = 4\).

Partie 2 – Étude de la fonction de Gain

Pour la suite, on admet que les paramètres sont fixés à \(A = -20\) et \(B = 5\). La fonction est donc : \(f(x) = -20 \ln(x) + 5x\)

2.1 – Valeurs limites

a) Calculer la valeur exacte de \(f(1)\).

Vérifier la cohérence avec la Partie 1.

b) Calculer une valeur approchée à \(10^{-2}\) de \(f(10)\).

2.2 – Étude de la dérivée et des variations

a) Calculer la dérivée \(f'(x)\) sur l'intervalle \([1 ; 10]\).

b) Montrer que \(f'(x) = \dfrac{5x - 20}{x}\).

c) Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \([1 ; 10]\) et dresser le tableau de variations complet de \(f\).

Partie 3 – Calcul de la Puissance Moyenne

3.1 – Recherche de primitive

On rappelle qu'une primitive de \(\ln(x)\) est \(x \ln(x) - x\).

a) Déterminer une primitive \(F\) de la fonction \(f\) sur \([1 ; 10]\).

b) Calculer la valeur exacte de l'intégrale \(I = \displaystyle\int_{1}^{5} f(x) \, dx\).

3.2 – Valeur moyenne

Calculer la valeur moyenne \(G_m\) du gain sur l'intervalle \([1 ; 5]\) (arrondir au dixième) : \(G_m = \frac{1}{5-1} \int_{1}^{5} f(x) \, dx\)

Partie 4 – Contrôle qualité et Probabilités conditionnelles

L'entreprise s'approvisionne en puces d'amplification auprès de deux fournisseurs, S1 et S2.

Le fournisseur S1 livre 60 % du stock.
Le fournisseur S2 livre le reste du stock.
On constate que 3 % des puces de S1 sont défectueuses (\(D\)).
On constate que 2 % des puces de S2 sont défectueuses (\(D\)).

4.1 – Modélisation

Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

4.2 – Probabilités totales

Calculer la probabilité totale \(P(D)\) qu'une puce prélevée au hasard soit défectueuse.

4.3 – Probabilité "a posteriori"

Une puce prélevée est défectueuse. Calculer la probabilité qu'elle provienne du fournisseur S1. Arrondir à \(10^{-3}\).

Partie 5 – Fiabilité et Seuil de Confiance ✋ Appel professeur n°2

On utilise des composants dont la probabilité de défaut est \(p = 0,04\). On prélève un lot de \(n\) résistances.

5.1 – Probabilités

Pour un lot de \(n = 80\), on admet que le nombre de défauts suit une loi binomiale.

a) Justifier les paramètres de cette loi.

b) Calculer la probabilité d'avoir au moins une résistance défectueuse \(P(X \geq 1)\).

5.2 – Recherche de seuil

Le responsable veut que la probabilité d'avoir au moins un défaut dépasse 0,99.

Trouver le nombre minimal de composants à tester pour que au moins un ait un défaut soit supérieur à 0.99

✋ Appel professeur n°2 Expliquer votre démarche au professeur.