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CCF Blanc 03 Mathématiques – BTS CIEL 1ère année

Session CIEL 1ère année 2026

Durée : 55 minutes Documents autorisés : Calculatrice graphique, logiciel GeoGebra

Contexte général

Dans un laboratoire d'électronique, on étudie la réponse d'un circuit RLC soumis à une impulsion. La tension \(u(x)\) (en volts) aux bornes d'un condensateur en fonction du temps \(x\) (en millisecondes) est modélisée par : \(f(x) = (ax + 2)e^{-kx}\) où \(a\) et \(k\) sont des paramètres dépendant des composants choisis.

Partie 1 – Recherche de paramètres ✋ Appel professeur n°1

Le technicien souhaite que le signal respecte deux critères de performance : 1. La tension doit être maximale à l'instant \(x = 2\text{ ms}\). 2. À cet instant précis, la tension doit être d'environ \(2,7\text{ V}\).

1.1 – Question préliminaire

Justifier que pour toute valeur de \(k > 0\), \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\). Interpréter ce résultat dans le contexte du circuit électrique.

1.2 – Détermination assistée par ordinateur

✋ Appel professeur n°1 :

  1. Sur GeoGebra, créer deux curseurs : \(a\) (de \(0\) à \(10\)) et \(k\) (de \(0\) à \(2\)).

  2. Saisir la fonction \(f(x) = (ax + 2)e^{-kx}\).

  3. En manipulant les curseurs, trouver les valeurs de \(a\) et \(k\) permettant de placer le maximum de la courbe au point de coordonnées \((2 ; 2,7)\).

  4. Noter ces valeurs sur votre copie (arrondir \(a\) à l'entier et \(k\) au dixième).

Partie 2 – Étude de la fonction de Tension

Pour la suite, on fixe \(a = 4\) et \(k = 0,5\). On étudie donc sur \([0 ; +\infty[\) : \(f(x) = (4x + 2)e^{-0,5x}\)

2.1 – Analyse dérivée

a) Montrer que la dérivée de \(f\) est \(f'(x) = (3 - 2x)e^{-0,5x}\).

b) Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \([0 ; 20]\).
c) Dresser le tableau de variations complet de \(f\) sur cet intervalle.

2.2 – Application

Déterminer par le calcul l'instant précis \(x\) où la tension est maximale et calculer la valeur exacte de ce maximum.

Partie 3 – Valeur moyenne et Énergie

3.1 – Vérification de primitive

On considère la fonction \(F\) définie par \(F(x) = (-8x - 20)e^{-0,5x}\).

Montrer que \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([0 ; +\infty[\).

3.2 – Tension moyenne

Calculer la valeur moyenne \(U_m\) de la tension entre les instants \(x=0\) et \(x=10\) : \(U_m = \dfrac{1}{10-0} \displaystyle\int_{0}^{10} f(x) \, dx\) (Arrondir au centième).

Partie 4 – Fiabilité du système ✋ Appel professeur n°2

Le circuit utilise des micro-contrôleurs dont 5 % présentent un défaut de synchronisation. On teste un lot de \(n\) circuits.

4.1 – Probabilités conditionnelles (Arbre)

Le test de diagnostic n'est pas parfait :

  • Si le circuit est défectueux, le test est positif dans 98 % des cas.

  • Si le circuit est sain, le test est négatif dans 95 % des cas.

Question : Construire l'arbre pondéré et calculer la probabilité qu'un circuit soit sain sachant que son test est positif.

4.2 – Loi Binomiale et Seuil

On prélève \(n\) circuits (loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p=0,05\)). On veut que la probabilité d'avoir au moins un circuit défectueux soit supérieure à 0,99.

✋ Appel professeur n°2 : Résoudre l'inéquation \(1 - (0,95)^n > 0,99\) à l'aide du logarithme népérien pour déterminer la taille minimale du lot \(n\).