Polynômes du Second Degré
Première Spécialité Mathématiques
Essentiel du cours
1. Les trois formes de $f(x)$
Développée
$ax^2 + bx + c$Canonique
$a(x-\alpha)^2 + \beta$Factorisée
$a(x-x_1)(x-x_2)$$\alpha = -\frac{b}{2a}$ ; $\beta = f(\alpha)$ (Sommet de la parabole $S(\alpha ; \beta)$)
2. Discriminant & Équations
$\Delta = b^2 - 4ac$
| $\Delta$ | Racines ($ax^2+bx+c=0$) |
|---|---|
| $< 0$ | Aucune racine réelle |
| $= 0$ | Une racine double : $x_0 = -\frac{b}{2a}$ |
| $> 0$ | $x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ ; $x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ |
3. Signe & Parabole
Le trinôme est toujours du signe de $a$, sauf entre les racines (si elles existent).
$a > 0$ : Parabole tournée vers le haut ($\cup$)
$a < 0$ : Parabole tournée vers le bas ($\cap$)
Astuce : Entre $x_1$ et $x_2$, signe de $-a$.
L'équation $x=-\frac{b}{2a}$ est un axe de symétrie
4. Propriétés
Si $\Delta \ge 0$, les racines $x_1$ et $x_2$ vérifient :
- 🔹 Somme : $S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
- 🔹 Produit : $P = x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}$
5. Variations
Le changement de variation a lieu en $x = \alpha$.
Si $a>0$:
Décroissant puis Croissant
Décroissant puis Croissant
Si $a<0$:
Croissant puis Décroissant
Croissant puis Décroissant
