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Exercice 1: Étude d'une fonction polynôme du second degré

Niveau : Première / Spécialité Mathématiques
Thème : Parabole, dérivation et recherche de tangentes

Énoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x) = 2x^2 - 8x + 6\]

On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O; \vec{i}, \vec{j})\).

1. Analyse des racines et du signe

  1. Calculer le discriminant \(\Delta\) du trinôme.
  2. Déterminer les deux racines \(x_1\) et \(x_2\) de l'équation \(f(x) = 0\).
  3. En déduire le tableau de signes de \(f(x)\) sur \(\mathbb{R}\).

2. Variations et Géométrie de la courbe

  1. Déterminer les coordonnées \((x_S ; y_S)\) du sommet \(S\) de la parabole \(\mathcal{C}_f\).
  2. Dresser le tableau de variations complet de la fonction \(f\).
  3. Donner l'équation de l'axe de symétrie de la parabole.
  4. Justifier par le calcul si les points suivants appartiennent à \(\mathcal{C}_f\) :
  5. \(A(3 ; 0)\)
  6. \(B(-1 ; 15)\)

3. Étude du calcul dérivé et Tangentes

  1. Déterminer l'expression de la fonction dérivée \(f'(x)\).
  2. Déterminer l'équation réduite de la tangente \(T_0\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(x = 0\).

4. Question d'ouverture : Tangente passant par un point extérieur

On considère le point extérieur à la courbe \(P(1,5 ; -4)\).

L'objectif est de trouver s'il existe une tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) qui passe par ce point \(P\). On note \(a\) l'abscisse d'un point de la courbe où l'on trace la tangente.

  1. Écrire l'équation de la tangente \(T_a\) en un point quelconque d'abscisse \(a\) en fonction de \(a\).
  2. En remplaçant \(x\) et \(y\) par les coordonnées de \(P\) dans cette équation, montrer que \(a\) doit être solution de l'équation : \(2a^2 - 6a + 2 = 0\).
  3. Résoudre cette équation et conclure sur le nombre de tangentes à \(\mathcal{C}_f\) passant par \(P\).

Éléments de Correction (Résumé)

Élément Résultat attendu
Discriminant \(\Delta = 16\)
Racines \(x_1 = 1\) et \(x_2 = 3\)
Sommet \(S(2 ; -2)\)
Dérivée \(f'(x) = 4x - 8\)
Tangente en 0 \(y = -8x + 6\)
Équation en \(a\) \(a^2 - 3a + 1 = 0\)
Abscisses des points de contact \(a = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\) et \(a = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\)