Exercice 1: Correction Détaillée : Étude de la fonction \(f(x) = 2x^2 - 8x + 6\)
1. Analyse des racines et du signe
1.1 Calcul du discriminant \(\Delta\)
La fonction est de la forme \(ax^2 + bx + c\) avec \(a=2\), \(b=-8\) et \(c=6\). \[\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(2)(6) = 64 - 48 = 16\]
1.2 Détermination des racines
Puisque \(\Delta > 0\), l'équation \(f(x) = 0\) admet deux racines réelles distinctes :
- \(x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8 - 4}{4} = \frac{4}{4} = 1\)
- \(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8 + 4}{4} = \frac{12}{4} = 3\)
1.3 Tableau de signes
Le coefficient \(a=2\) est positif, donc la parabole est orientée vers le haut ("en sourire"). La fonction est négative entre les racines.
\[ \begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & 1 & & 3 & & +\infty \\ \hline f(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \end{array} \]
2. Variations et Géométrie
2.1 Coordonnées du sommet \(S\)
L'abscisse du sommet est donnée par \(\alpha = -\frac{b}{2a}\) :
- \(x_S = \frac{8}{4} = 2\). L'ordonnée est l'image de \(x_S\) par \(f\) :
- \(y_S = f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2\). Le sommet est \(S(2 ; -2)\).
2.2 Tableau de variations
Puisque \(a > 0\), la fonction est d'abord décroissante puis croissante.
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline & +\infty & & & & +\infty \\ f(x) & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & -2 & & \end{array} \]
2.3 Axe de symétrie et appartenance
- Axe de symétrie : La droite d'équation \(x = 2\).
- Point \(A(3 ; 0)\) : On sait que \(3\) est une racine, donc \(f(3)=0\). \(A \in \mathcal{C}_f\).
- Point \(B(-1 ; 15)\) : \(f(-1) = 2(-1)^2 - 8(-1) + 6 = 2 + 8 + 6 = 16\). Comme \(16 \neq 15\), \(B \notin \mathcal{C}_f\).
3. Dérivation et Tangente en \(x=0\)
3.1 Fonction dérivée
En utilisant les règles de dérivation (\(x^n \to nx^{n-1}\)) : \[f'(x) = 2(2x) - 8 = 4x - 8\]
3.2 Tangente \(T_0\)
L'équation est \(y = f'(0)(x - 0) + f(0)\).
- \(f'(0) = 4(0) - 8 = -8\)
- \(f(0) = 6\)
L'équation de la tangente est \(y = -8x + 6\).
4. Question d'ouverture : Tangente passant par \(P(1,5 ; -4)\)
4.1 Équation de \(T_a\)
Pour un point d'abscisse \(a\), la tangente \(T_a\) a pour équation : \[y = (4a - 8)(x - a) + (2a^2 - 8a + 6)\]
4.2 Recherche de \(a\)
Si \(P(1,5 ; -4)\) appartient à \(T_a\), ses coordonnées vérifient l'équation : \[4 = (4a - 8)(1,5 - a) + 2a^2 - 8a + 6\] En développant : \[4 = 6a - 4a^2 - 12 + 8a + 2a^2 - 8a + 6\] \[4 = -2a^2 + 6a - 6\] En passant tout à gauche : \(2a^2 - 6a + 2 = 0\) (ce qui revient à \(a^2 - 3a + 1 = 0\) en divisant par 2).
4.3 Résolution
Pour \(a^2 - 3a + 1 = 0\) : \(\Delta_a = (-3)^2 - 4(1)(1) = 5\). Les solutions sont \(a_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\) et \(a_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\). Conclusion : Il existe deux tangentes à la courbe qui passent par le point \(P\).