Les Suites Numériques

Première Spécialité Mathématiques

Révision & Modélisation

1. Modes de définition & Variations

Explicite : $u_n = f(n)$

Calcul direct : $u_{100} = f(100)$

Récurrence : $u_{n+1} = f(u_n)$

Besoin du terme précédent + $u_0$.

Variations : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$. Si $>0$, la suite est croissante.

2. Suites Arithmétiques

Définition : $u_{n+1} = u_n + r$

Forme explicite : $u_n = u_0 + n \times r$

Somme $S = \text{nb de termes} \times \frac{\text{1er} + \text{dernier}}{2}$

$1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

3. Suites Géométriques

Définition : $u_{n+1} = u_n \times q$

Forme explicite : $u_n = u_0 \times q^n$

Somme $S = \text{1er terme} \times \frac{1 - q^{\text{nb de termes}}}{1 - q}$

Utilisée dans la Partie C de l'exo.

4. Modélisation (Exo Partie B)

Pour une suite $v_{n+1} = av_n + b$ :

  • 1. Chercher la valeur d'équilibre $l$ telle que $l = al + b$.
  • 2. Poser $w_n = v_n - l$.
  • 3. $w_n$ est toujours géométrique de raison $a$.

5. Seuil & Python

while u < cible:  # Condition d'arrêt
    n = n + 1     # Incrémentation
    u = nveau_u   # Mise à jour
return n

💡 Méthodes de l'exercice de référence

Partie A : Pour $u_n > 2,5$, on résout l'inéquation $\frac{3n-1}{n+2} > 2,5$ en multipliant par $(n+2)$.
Partie B : Évolutions en % $\rightarrow$ Coefficient multiplicateur. Hausse de $5\% = \times 1,05$.