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Exercice 2 : Étude de suites numériques (Modélisation et Sommes)

Niveau : Première Spécialité Mathématiques
Thème : Suites explicites, récurrence arithmético-géométrique et calcul de sommes.

Énoncé

Partie A : Étude d'une suite explicite

Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n \geq 0\) par :
\[u_n = \frac{3n - 1}{n + 2}\]

  1. Calculer les termes \(u_0\), \(u_1\) et \(u_2\).
  2. Étudier les variations de la suite \((u_n)\) sur \(\mathbb{N}\).
  3. Déterminer, par le calcul, le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n > 2,5\).
  4. Compléter l'algorithme de recherche de seuil qui calcule le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n>cible\), \(cible\) étant un réel strictement inférieur à 3. 
def cherche_seuil(cible):
    n = 0
    u = -0.5  # Valeur de u_0

    while u .........:
        n = .........
        u = .........

    return n

# Appel de la fonction pour la valeur demandée
resultat = cherche_seuil(2.99999)
print("Le plus petit entier n est :", resultat)

Partie B : Modélisation et Suite Arithmético-géométrique

Un investisseur place \(1\,000\) € le 1er janvier 2024 sur un compte d'épargne. Chaque année, ce capital augmente de \(5\%\) grâce aux intérêts, mais l'investisseur retire \(40\) € de frais de gestion à la fin de l'année.
On note \(v_n\) le capital au 1er janvier de l'année \(2024 + n\). On a \(v_0 = 1\,000\).

  1. Calculer \(v_1\) et \(v_2\).
  2. Justifier que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(v_{n+1} = 1,05v_n - 40\).
  3. On considère la suite auxiliaire \((w_n)\) définie par \(w_n = v_n - 800\). a. Démontrer que \((w_n)\) est une suite géométrique de raison \(q = 1,05\). Préciser son premier terme \(w_0\). b. Exprimer \(w_n\) en fonction de \(n\). c. En déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(v_n = 200 \times 1,05^n + 800\).

Partie C : Calcul de somme et cumul

On souhaite calculer la somme totale des capitaux présents sur le compte entre l'année 2024 et l'année 2033 incluse (soit de \(n=0\) à \(n=9\)).
On note \(S = v_0 + v_1 + v_2 + \dots + v_9\).

  1. Exprimer \(S\) en fonction de la somme des termes de la suite \((w_n)\).
  2. En déduire la valeur exacte de \(S\), puis une valeur arrondie à l'euro près.