Exercice 2: Correction : Étude de suites numériques

Partie A : Suite explicite

1. Calcul des termes

\(u_0 = \frac{3(0) - 1}{0 + 2} = -0,5\)
\(u_1 = \frac{3(1) - 1}{1 + 2} = \frac{2}{3} \approx 0,67\)
\(u_2 = \frac{3(2) - 1}{2 + 2} = \frac{5}{4} = 1,25\)

2. Variations

Soit \(f\) la fonction définie sur \([0 ; +\infty[\) par \(f(x) = \frac{3x-1}{x+2}\).
\(f\) est de la forme \(\frac{u}{v}\) avec \(u(x)=3x-1\) et \(v(x)=x+2\).
\(f'(x) = \frac{3(x+2) - 1(3x-1)}{(x+2)^2} = \frac{3x+6-3x+1}{(x+2)^2} = \frac{7}{(x+2)^2}\).

Comme \(f'(x) > 0\) sur \([0 ; +\infty[\), la fonction \(f\) est croissante. On en déduit que la suite \((u_n)\) est croissante.

\[ \begin{array}{c|ccc} x & 0 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & \\ \hline & & & 3 \\ f(x) & & \nearrow & \\ & -0,5 & & \end{array} \]

3. Recherche de seuil

\(u_n > 2,5 \iff \frac{3n-1}{n+2} > 2,5\)

\(3n - 1 > 2,5(n + 2)\)

\(3n - 1 > 2,5n + 5\)

\(0,5n > 6 \iff n > 12\).

Le plus petit entier est \(n = 13\).

4. Recherche de seuil avec un algorithme

def cherche_seuil(cible):
    n = 0
    u = -0.5  # Valeur de u_0

    while u <= cible:
        n = n + 1
        u = (3 * n - 1) / (n + 2)

    return n

# Appel de la fonction pour la valeur demandée
resultat = cherche_seuil(2.99999)
print("Le plus petit entier n est :", resultat)

Partie B : Suite Arithmético-géométrique

1. Premiers termes

\(v_1 = 1\,000 \times 1,05 - 40 = 1\,010\) €
\(v_2 = 1\,010 \times 1,05 - 40 = 1\,020,50\) €

2. Relation de récurrence

Une augmentation de \(5\%\) correspond à un coefficient multiplicateur de \(1 + \frac{5}{100} = 1,05\). En retirant les 40 € de frais, on a bien : \(v_{n+1} = 1,05v_n - 40\).

3. Suite auxiliaire \((w_n)\)

a. \(w_{n+1} = v_{n+1} - 800 = (1,05v_n - 40) - 800 = 1,05v_n - 840\).
En factorisant par 1,05 : \(w_{n+1} = 1,05(v_n - \frac{840}{1,05}) = 1,05(v_n - 800) = 1,05w_n\).
La suite \((w_n)\) est donc géométrique de raison \(q = 1,05\).
Premier terme : \(w_0 = v_0 - 800 = 1\,000 - 800 = 200\).

b. Expression fonctionnelle : \(w_n = 200 \times 1,05^n\).

c. Comme \(w_n = v_n - 800\), alors \(v_n = w_n + 800\).
D'où : \(v_n = 200 \times 1,05^n + 800\).

Partie C : Calcul de somme

1. Expression de \(S\)

\(S = \sum_{k=0}^{9} v_k = \sum_{k=0}^{9} (w_k + 800) = \left( \sum_{k=0}^{9} w_k \right) + 10 \times 800\)

2. Calcul final

Somme des termes de \((w_n)\) :
\(\sum_{k=0}^{9} w_k = 200 \times \frac{1 - 1,05^{10}}{1 - 1,05} = 200 \times \frac{1 - 1,05^{10}}{-0,05} = 4\,000 \times (1,05^{10} - 1)\)

Calcul de \(S\) :
\(S = 4\,000 \times (1,05^{10} - 1) + 8\,000\)
\(S \approx 4\,000 \times (1,62889 - 1) + 8\,000 \approx 2\,515,56 + 8\,000\)
\(S \approx 10\,516\) €.