Exercice : Étude de l'évolution d'une population (Modélisation et Sommes)

Niveau : Première Spécialité Mathématiques
Thème : Suite homographique, suite arithmético-géométrique et calcul de sommes.

Partie A : Étude d'une suite explicite

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n \geq 0$ par :
$$u_n = \frac{4n + 2}{n + 5}$$

Calculer les termes $u_0$, $u_1$ et $u_2$ sous forme de fractions simplifiées.
Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ sur $\mathbb{N}$.
Déterminer, par le calcul, le plus petit entier $n$ tel que $u_n > 3,8$.
Compléter l'algorithme suivant pour qu'il retourne le premier rang $n$ à partir duquel la suite dépasse une valeur $seuil$ donnée (avec $seuil < 4$).

def trouve_rang(seuil):
    n = 0
    u = 0.4  # Valeur de u_0

    while u <= .........:
        n = .........
        u = .........

    return n

# Test de la fonction pour un seuil de 3.99
print("Le rang n est :", trouve_rang(3.99))

Partie B : Modélisation d'une réserve naturelle

Une réserve naturelle compte $3\,000$ oiseaux au 1er janvier 2025. On estime que chaque année, la population diminue de $2\%$, mais que $150$ oiseaux arrivent dans la réserve en raison de la migration.
On note $v_n$ le nombre d'oiseaux au 1er janvier de l'année $2025 + n$. On a donc $v_0 = 3\,000$.

Calculer $v_1$ et $v_2$.
Justifier que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $v_{n+1} = 0,98 \times v_n + 150 $.
On considère la suite auxiliaire $(w_n)$ définie pour tout $n$ par $w_n = v_n - 7\,500$.
- a. Démontrer que $(w_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et son premier terme $w_0$.
- b. Exprimer $w_n$ en fonction de $n$.
- c. En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $v_n = 0,98^{n} \times 7\,500 + 7\,500$.

Partie C : Cumul et Statistiques

L'administration de la réserve souhaite calculer le "nombre total de nuitées" (la somme des populations annuelles observées) sur les 11 premières années (de 2025 à 2035 inclus, soit de $n=0$ à $n=10$).
On note $S = v_0 + v_1 + \dots + v_{10}$.

Montrer que $S = 11 \times 7\,500 + (w_0 + w_1 + \dots + w_{10})$.
À l'aide de la formule de la somme des termes d'une suite géométrique, calculer la valeur exacte de $S$.
En déduire une valeur arrondie à l'unité près.
Compléter l'algorithme suivant pour qu'il retourne la somme $S$ des populations annuelles sur les 11 premières années.

```python def somme_population(): v = .... # Population initiale S = .... # Initialisation de la somme

for n in range(11):
    S = ............
    v = ............  # Calcul de la population pour l'année suivante

return S