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Correction : Étude de l'évolution d'une population (Modélisation et Sommes)

Partie A : Étude d'une suite explicite

1. Calcul des termes

  • \(u_0 = \frac{4(0) + 2}{0 + 5} = \frac{2}{5} = 0,4\)

  • \(u_1 = \frac{4(1) + 2}{1 + 5} = \frac{6}{6} = 1\)

  • \(u_2 = \frac{4(2) + 2}{2 + 5} = \frac{10}{7} \approx 1,43\)

2. Variations

Soit \(f\) la fonction définie sur \([0 ; +\infty[\) par \(f(x) = \frac{4x + 2}{x + 5}\).

\(f\) est de la forme \(\frac{u}{v}\) avec \(u(x) = 4x + 2\) et \(v(x) = x + 5\).

\(f'(x) = \frac{4(x + 5) - 1(4x + 2)}{(x + 5)^2} = \frac{4x + 20 - 4x - 2}{(x + 5)^2} = \frac{18}{(x + 5)^2}\).

Comme \(f'(x) > 0\) sur \([0 ; +\infty[\), la fonction \(f\) est strictement croissante. On en déduit que la suite \((u_n)\) est croissante.

3. Recherche de seuil par le calcul

\(u_n > 3,8 \iff \frac{4n + 2}{n + 5} > 3,8\)

\(4n + 2 > 3,8(n + 5)\)

\(4n + 2 > 3,8n + 19\)

\(0,2n > 17 \iff n > \frac{17}{0,2} \iff n > 85\).

Le plus petit entier est \(n = 86\).

4. Algorithme complété

def trouve_rang(seuil):
    n = 0
    u = 0.4  # Valeur de u_0

    while u <= seuil:
        n = n + 1
        u = (4 * n + 2) / (n + 5)

    return n

Partie B : Modélisation d'une réserve naturelle

1. Premiers termes

  • \(v_1 = 3\,000 \times 1,02 - 150 = 2\,910\)

  • \(v_2 = 2\,910 \times 1,02 - 150 = 2\,818,2\)

2. Relation de récurrence

Une augmentation de \(2\%\) correspond à un coefficient multiplicateur de \(1 + \frac{2}{100} = 1,02\). En retranchant les \(150\) oiseaux qui quittent la réserve, on obtient bien : \(v_{n+1} = 1,02v_n - 150\).

3. Suite auxiliaire \((w_n)\)

a. \(w_{n+1} = v_{n+1} - 7\,500 = (1,02v_n - 150) - 7\,500 = 1,02v_n - 7\,650\).

En factorisant par \(1,02\) : \(w_{n+1} = 1,02(v_n - \frac{7\,650}{1,02}) = 1,02(v_n - 7\,500) = 1,02w_n\).

La suite \((w_n)\) est donc géométrique de raison \(q = 1,02\).

Premier terme : \(w_0 = v_0 - 7\,500 = 3\,000 - 7\,500 = -4\,500\).

b. Expression fonctionnelle : \(w_n = -4\,500 \times 1,02^n\).

c. Comme \(w_n = v_n - 7\,500\), alors \(v_n = w_n + 7\,500\).
D'où : \(v_n = 7\,500 - 4\,500 \times 1,02^n\).

Partie C : Calcul de somme

1. Expression de \(S\)

\(S = \sum_{k=0}^{10} v_k = \sum_{k=0}^{10} (w_k + 7\,500) = \left( \sum_{k=0}^{10} w_k \right) + 11 \times 7\,500\)

2. Calcul final

Somme des termes de \((w_n)\) :
\(\sum_{k=0}^{10} w_k = -4\,500 \times \frac{1 - 1,02^{11}}{1 - 1,02} = -4\,500 \times \frac{1 - 1,02^{11}}{-0,02} = 225\,000 \times (1 - 1,02^{11})\)

Calcul de \(S\) :

\(S = 225\,000 \times (1 - 1,02^{11}) + 82\,500\)

\(S \approx 225\,000 \times (1 - 1,24337) + 82\,500\)

\(S \approx -54\,758,25 + 82\,500\)

\(S \approx 27\,742\) oiseaux.