Dérivation & Étude de Fonctions

Récapitulatif Complet • Première Spécialité Mathématiques

1 Dérivées des fonctions de référence

Fonction $f(x)$ Dérivée $f'(x)$ Intervalle $I$
$k$ (constante) $0$ $\mathbb{R}$
$x$ $1$ $\mathbb{R}$
$x^n$ ($n \in \mathbb{Z}^*$) $nx^{n-1}$ $\mathbb{R}$ (si $n>0$)
$\dfrac{1}{x}$ $-\dfrac{1}{x^2}$ $]-\infty ; 0[$ ou $]0 ; +\infty[$
$\dfrac{1}{x^n}$ $-\dfrac{n}{x^{n+1}}$ $]0 ; +\infty[$
$\sqrt{x}$ $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ $]0 ; +\infty[$
$e^{x}$ $e^{x}$ $\mathbb{R}$

2. Règles de calcul (Opérations)

Somme : $\left(u+v\right)' = u'+v'$
Produit : $\left(u \cdot v\right)' = u'v + uv'$
Inverse : $\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$
Quotient : $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
Puissance : $\left(u^n\right)' = n u' u^{n-1}$
Exponentielle : $\left(e^{kx}\right)' = k e^{kx}$

3. Signe de $f'$ et Variations

  • ✅ $f'(x) > 0 \implies f$ croissante
  • ✅ $f'(x) < 0 \implies f$ décroissante
  • ✅ $f'(x) = 0$ (en changeant de signe) $\implies$ Extremum

4. Équation de la Tangente

Au point d'abscisse $a$ :

$y = f'(a)(x - a) + f(a)$

🔍 Focus Application : $f(x) = \dfrac{x^2 - 3x}{x^2 + 1}$

1. Calcul $f'(x)$

Type $\dfrac{u}{v}$ avec $u=x^2-3x$ et $v=x^2+1$. On trouve le numérateur :
$(2x-3)(x^2+1) - (x^2-3x)(2x)$

2. Étude du signe

Le signe dépend uniquement de $3x^2 + 2x - 3$.
$\Delta = 2^2 - 4(3)(-3) = 40$.
Deux racines $\approx 0,72$ et $-1,39$.

3. Tangente en 0

$f(0) = 0$
$f'(0) = \dfrac{-3}{1^2} = -3$
$\implies y = -3(x-0)+0 = \mathbf{-3x}$

5. Méthode d'Optimisation

❶ Modéliser $f(x)$

➔

❷ Dériver $f'(x)$

➔

❸ Trouver $x$ tel que $f'(x)=0$

➔

❹ Conclure sur le Max/Min