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Exercice 3: Dérivation et Étude de fonctions

Niveau : Première Spécialité Mathématiques
Thème : Formules de dérivation, variations, tangentes et optimisation.

Énoncé

Partie A : Calcul de dérivées

Calculer la dérivée \(f'(x)\) de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle \(I\) donné (on ne demande pas d'étudier les variations ici) :

  1. (\(u \cdot v\)) : \(f(x) = (3x - 2)\sqrt{x}\) sur \(I = ]0 ; +\infty[\).
  2. (\(u^n\)) : \(g(x) = (2x^2 - 5)^4\) sur \(I = \mathbb{R}\).
  3. (\(1/u\)) : \(h(x) = \frac{1}{x^2 + x + 1}\) sur \(I = \mathbb{R}\).
  4. (\(u/v\)) : \(k(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}\) sur \(I = ]3 ; +\infty[\).

Partie B : Étude complète

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x^2 + 1}\).

  1. Déterminer la dérivée \(f'(x)\) et montrer que \(f'(x) = \frac{3x^2 + 2x - 3}{(x^2 + 1)^2}\).
  2. Étudier le signe de \(f'(x)\) et en déduire le tableau de variations de \(f\).
  3. Déterminer l'équation de la tangente \((T)\) à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(0\).

Partie C : Le plaisir de l'optimisation

On dispose d'une plaque de carton carrée de \(20\) cm de côté. On coupe un petit carré de côté \(x\) à chaque coin et on relève les bords pour former une boîte (sans couvercle).

  1. Justifier que le volume de la boîte est donné par \(V(x) = x(20 - 2x)^2\) pour \(x \in [0 ; 10]\).
  2. Pour quelle valeur de \(x\) le volume de la boîte est-il maximal ? Quel est ce volume ?