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Correction : Dérivation

Partie A : Calculs techniques

  1. \(f(x) = (3x-2)\sqrt{x}\) : Formule \((uv)' = u'v + uv'\).

\(u(x) = 3x-2 \Rightarrow u'(x) = 3\)

\(v(x) = \sqrt{x} \Rightarrow v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)

\(f'(x) = 3\sqrt{x} + \frac{3x-2}{2\sqrt{x}} = \frac{6x + 3x - 2}{2\sqrt{x}} = \frac{9x - 2}{2\sqrt{x}}\).

  1. \(g(x) = (2x^2-5)^4\) : Formule \((u^n)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}\).

\(u(x) = 2x^2-5 \Rightarrow u'(x) = 4x\).

\(g'(x) = 4 \times 4x \times (2x^2-5)^3 = 16x(2x^2-5)^3\).

  1. \(h(x) = \frac{1}{x^2+x+1}\) : Formule \((\frac{1}{u})' = -\frac{u'}{u^2}\).

\(u(x) = x^2+x+1 \Rightarrow u'(x) = 2x+1\).

\(h'(x) = -\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}\).

  1. \(k(x) = \frac{2x+1}{x-3}\) : Formule \((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).

\(k'(x) = \frac{2(x-3) - 1(2x+1)}{(x-3)^2} = \frac{2x-6-2x-1}{(x-3)^2} = \frac{-7}{(x-3)^2}\).

Partie B : Étude de fonction

  1. Dérivée : \(f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x^2 + 1}\). \(f'(x) = \frac{(2x-3)(x^2+1) - 2x(x^2-3x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^3+2x-3x^2-3-2x^3+6x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{3x^2+2x-3}{(x^2+1)^2}\).

  2. Signe et Variations : Le dénominateur est un carré positif. On étudie le signe de \(3x^2+2x-3\).

\(\Delta = 2^2 - 4(3)(-3) = 4 + 36 = 40\).

Racines : \(x_1 = \frac{-2-\sqrt{40}}{6} \approx -1,39\) et \(x_2 = \frac{-2+\sqrt{40}}{6} \approx 0,72\).

Le trinôme est positif à l'extérieur des racines.

  • \(f\) est croissante sur \(]-\infty ; x_1]\), décroissante sur \([x_1 ; x_2]\) et croissante sur \([x_2 ; +\infty[\).

  • Tangente en \(0\) : \(y = f'(0)(x-0) + f(0)\).

\(f(0) = \frac{0}{1} = 0\).

\(f'(0) = \frac{-3}{1^2} = -3\).

Équation : \(y = -3x\).

Partie C : Optimisation (Boîte)

  1. Volume : La base est un carré de côté \((20-2x)\) et la hauteur est \(x\).

\(V(x) = \text{Aire de la base} \times \text{hauteur} = (20-2x)^2 \times x\).

  1. Maximum : On dérive \(V(x) = x(400 - 80x + 4x^2) = 4x^3 - 80x^2 + 400x\).

\(V'(x) = 12x^2 - 160x + 400\).

\(\Delta = (-160)^2 - 4(12)(400) = 25600 - 19200 = 6400\).

\(\sqrt{\Delta} = 80\).

\(x_1 = \frac{160-80}{24} = \frac{80}{24} = \frac{10}{3} \approx 3,33\) cm.

\(x_2 = \frac{160+80}{24} = 10\) (Volume nul, correspond au minimum).

Le volume est maximal pour \(x = 10/3\) cm.