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Exercice 3 : Dérivation et Étude de fonctions

Niveau : Première Spécialité Mathématiques
Thème : Formules de dérivation, variations, tangentes et optimisation.

Énoncé

Partie A : Calcul de dérivées

Calculer la dérivée \(f'(x)\) de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle \(I\) donné en utilisant les formules du cours :

  1. Produit (\(u \cdot v\)) : \(f(x) = (2x - 5)(x^2 + 3x)\) sur \(I = \mathbb{R}\).

  2. Puissance (\(u^n\)) : \(g(x) = (3x^2 - 4x + 1)^3\) sur \(I = \mathbb{R}\).

  3. Inverse (\(1/u\)) : \(h(x) = \frac{1}{x^2 + 4}\) sur \(I = \mathbb{R}\).

  4. Somme et inverse : \(k(x) = x^2 + \frac{1}{2x + 1}\) sur \(I = ]-0,5 ; +\infty[\).

Partie B : Étude complète

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)\).

  1. Déterminer la dérivée \(f'(x)\) en utilisant la formule du produit \((u \cdot v)\).

  2. Développer l'expression de \(f(x)\), puis calculer à nouveau la dérivée pour vérifier votre résultat précédent.

  3. Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations complet de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

  4. Déterminer l'équation de la tangente \((T)\) à la courbe représentative de \(f\) au point d'abscisse \(1\).

Partie C : Le plaisir de l'optimisation

Un agriculteur souhaite clôturer un terrain rectangulaire adossé à un mur droit (il n'y a donc pas besoin de clôture le long du mur). Il dispose de \(40\) mètres de grillage. On note \(x\) la largeur du terrain (perpendiculaire au mur) et \(y\) sa longueur (parallèle au mur).

  1. Justifier que la longueur \(y\) s'exprime en fonction de \(x\) par \(y = 40 - 2x\).

  2. Montrer que l'aire du terrain est donnée par la fonction \(A(x) = -2x^2 + 40x\) pour \(x \in [0 ; 20]\).

  3. En étudiant les variations de la fonction \(A\) (calcul de la dérivée), déterminer la valeur de \(x\) pour laquelle l'aire du terrain est maximale. Quelle est alors cette aire ?