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Correction : Dérivation et Étude de fonctions

Partie A : Calcul de dérivées

1. Produit (\(u \cdot v\)) : \(f(x) = (2x - 5)(x^2 + 3x)\)

  • On pose \(u(x) = 2x - 5 \implies u'(x) = 2\)

  • On pose \(v(x) = x^2 + 3x \implies v'(x) = 2x + 3\)

  • \(f'(x) = u'v + uv' = 2(x^2 + 3x) + (2x - 5)(2x + 3)\)

  • \(f'(x) = 2x^2 + 6x + (4x^2 + 6x - 10x - 15) = \mathbf{6x^2 + 2x - 15}\)

2. Puissance (\(u^n\)) : \(g(x) = (3x^2 - 4x + 1)^3\)

  • On pose \(u(x) = 3x^2 - 4x + 1 \implies u'(x) = 6x - 4\)

  • La formule est \(g'(x) = n \cdot u' \cdot u^{n-1}\)

  • \(g'(x) = 3(6x - 4)(3x^2 - 4x + 1)^2 = \mathbf{(18x - 12)(3x^2 - 4x + 1)^2}\)

3. Inverse (\(1/u\)) : \(h(x) = \frac{1}{x^2 + 4}\)

  • On pose \(u(x) = x^2 + 4 \implies u'(x) = 2x\)

  • La formule est \(h'(x) = -\frac{u'}{u^2}\)

  • \(h'(x) = \mathbf{-\frac{2x}{(x^2 + 4)^2}}\)

4. Somme et inverse : \(k(x) = x^2 + \frac{1}{2x + 1}\)

  • La dérivée de \(x^2\) est \(2x\).

  • Pour \(\frac{1}{2x + 1}\), on pose \(u(x) = 2x + 1 \implies u'(x) = 2\). La dérivée est \(-\frac{2}{(2x+1)^2}\).

  • \(k'(x) = \mathbf{2x - \frac{2}{(2x + 1)^2}}\)

Partie B : Étude complète

1. Dérivée par le produit : \(f(x) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)\)

  • \(u(x) = x - 2 \implies u'(x) = 1\)

  • \(v(x) = x^2 + 2x + 4 \implies v'(x) = 2x + 2\)

  • \(f'(x) = 1(x^2 + 2x + 4) + (x - 2)(2x + 2)\)

  • \(f'(x) = x^2 + 2x + 4 + (2x^2 + 2x - 4x - 4) = \mathbf{3x^2}\)

2. Vérification par développement :

  • \(f(x) = x(x^2 + 2x + 4) - 2(x^2 + 2x + 4) = x^3 + 2x^2 + 4x - 2x^2 - 4x - 8\)

  • \(f(x) = x^3 - 8\)

  • En dérivant \(x^3 - 8\), on retrouve bien \(f'(x) = 3x^2\).

3. Variations :

  • Pour tout réel \(x\), \(x^2 \geq 0\), donc \(f'(x) = 3x^2 \geq 0\).

  • La dérivée ne s'annule qu'en \(0\). La fonction \(f\) est donc strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

4. Tangente en \(x=1\) :

  • Équation : \(y = f'(1)(x - 1) + f(1)\)

  • \(f'(1) = 3(1)^2 = 3\)

  • \(f(1) = 1^3 - 8 = -7\)

  • \(y = 3(x - 1) - 7 \implies \mathbf{y = 3x - 10}\)

Partie C : Le plaisir de l'optimisation

1. Expression de \(y\) :

Le périmètre clôturé est \(2x + y = 40\). En isolant \(y\), on a bien \(y = 40 - 2x\).

2. Expression de l'aire :

  • \(A(x) = \text{largeur} \times \text{longueur} = x \times y\)

  • \(A(x) = x(40 - 2x) = \mathbf{-2x^2 + 40x}\)

3. Maximum de l'aire :

  • La fonction \(A\) est dérivable : \(A'(x) = -4x + 40\).

  • \(A'(x) = 0 \iff -4x = -40 \iff x = 10\).

  • Comme \(A'(x)\) est une fonction affine décroissante, elle est positive avant \(10\) et négative après. L'aire est donc maximale pour \(x = 10\) m.

  • L'aire maximale est \(A(10) = 10(40 - 20) = \mathbf{200 \text{ m}^2}\).