Fiche Révision - Produit Scalaire

1 Les 4 méthodes de calcul

Méthode	Formule $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$	Condition d'usage
Coordonnées	$xx' + yy'$	Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$
Cosinus	$\\|\vec{u}\\| \times \\|\vec{v}\\| \times \cos(\theta)$	Si l'on connaît l'angle et les normes
Projection	$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$ (ou opposé)	$H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$
Normes	$\frac{1}{2} (\\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\\|^2 - \\|\overrightarrow{u}\\|^2 - \\|\overrightarrow{v}\\|^2)$	Si l'on connaît les longueurs des côtés

2. Propriétés et Orthogonalité

Orthogonalité : $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \iff \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v}$

Carré scalaire : $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u}^2 = \|\overrightarrow{u}\|^2$

Signe et Angle : $\cdot > 0 \implies$ Aigu
$\cdot < 0 \implies$ Obtus

3. Théorème d'Al-Kashi

Dans un triangle $ABC$ quelconque :

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \times AC \times \cos(\widehat{A})$

4. Calcul de Norme

Distance entre $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ :

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

🔍 Focus Application : Triangle $ABC$ avec $A(-2; 1), B(4; 3), C(1; 5)$

1. Vecteurs & Coordonnées

$\overrightarrow{AB} \displaystyle\binom{6}{2}$ et $\overrightarrow{AC} \displaystyle\binom{3}{4}$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 6(3) + 2(4) = 26$

2. Calcul d'Angle

$\cos(\widehat{A}) = \dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{AB \times AC}$
$\cos(\widehat{A}) = \dfrac{26}{\sqrt{40} \times 5} \approx 0,82$

3. Al-Kashi (Exemple)

$EF=5, EG=8, \widehat{E}=60^\circ$
$FG^2 = 25+64 - 2(40)(0,5) = 49$
$\implies FG = 7$

5. Méthode pour démontrer une orthogonalité

❶ Calculer les coordonnées des vecteurs

➔

❷ Calculer le produit scalaire $xx' + yy'$

➔

❸ Si résultat = 0 $\implies$ Perpendiculaires