Exercice : Vecteurs et Produit Scalaire

Niveau : Première Spécialité Mathématiques
Thème : Calculs de produit scalaire, orthogonalité et théorème d'Al-Kashi.

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Énoncé

Partie A : Calculs en base orthonormée

Dans un repère orthonormé \((O; \vec{i}, \vec{j})\), on considère les points : \(A(-2 ; 1)\), \(B(4 ; 3)\) et \(C(1 ; 5)\).

1. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
2. Calculer le produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\).
3. En déduire la valeur du cosinus de l'angle \(\widehat{BAC}\), puis une valeur approchée de l'angle au degré près.
4. Le triangle \(ABC\) est-il rectangle en \(A\) ? Justifier.

Partie B : Projeté orthogonal et Géométrie

Soit \(ABCD\) un rectangle tel que \(AB = 8\) et \(AD = 4\). Soit \(I\) le milieu du segment \([AB]\).

1. Exprimer le vecteur \(\vec{DI}\) en fonction de \(\vec{DA}\) et \(\vec{AB}\).
2. Calculer le produit scalaire \(\vec{AC} \cdot \vec{AB}\) en utilisant la projection orthogonale.
3. Calculer \(\vec{DI} \cdot \vec{AC}\). Les droites \((DI)\) et \((AC)\) sont-elles perpendiculaires ?

Partie C : Application (Théorème d'Al-Kashi)

Soit un triangle \(EFG\) tel que \(EF = 5\), \(EG = 8\) et \(\widehat{FEG} = 60^\circ\).

1. Calculer la longueur exacte du côté \(FG\).
2. Déterminer la valeur du produit scalaire \(\vec{EF} \cdot \vec{EG}\).