Correction : Vecteurs et Produit Scalaire
Partie A : Repère orthonormé
- Coordonnées :
\(\vec{AB} = (4 - (-2) ; 3 - 1) = (6 ; 2)\)
\(\vec{AC} = (1 - (-2) ; 5 - 1) = (3 ; 4)\)
- Produit scalaire :
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = xx' + yy' = 6 \times 3 + 2 \times 4 = 18 + 8 = 26\).
- Angle \(\widehat{BAC}\) :
On sait que \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})\).
\(AB = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40}\)
\(AC = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\)
\(26 = \sqrt{40} \times 5 \times \cos(\widehat{BAC}) \Rightarrow \cos(\widehat{BAC}) = \frac{26}{5\sqrt{40}} \approx 0,822\).
L'angle \(\widehat{BAC} \approx \arccos(0,822) \approx 35^\circ\).
- Orthogonalité :
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 26 \neq 0\), donc les vecteurs ne sont pas orthogonaux. Le triangle n'est pas rectangle en \(A\).
Partie B : Géométrie plane
- Relation de Chasles :
\(\vec{DI} = \vec{DA} + \vec{AI} = \vec{DA} + \frac{1}{2}\vec{AB}\).
- Projection :
Pour \(\vec{AC} \cdot \vec{AB}\), le projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\) est le point \(B\).
Donc \(\vec{AC} \cdot \vec{AB} = \vec{AB} \cdot \vec{AB} = AB^2 = 8^2 = 64\).
- Calcul de \(\vec{DI} \cdot \vec{AC}\) :
\(\vec{DI} \cdot \vec{AC} = (\vec{DA} + \frac{1}{2}\vec{AB}) \cdot (\vec{AB} + \vec{AD})\)
\(= \vec{DA} \cdot \vec{AB} + \vec{DA} \cdot \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AB} \cdot \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AB} \cdot \vec{AD}\)
Comme \(ABCD\) est un rectangle, les produits scalaires de vecteurs orthogonaux sont nuls.
\(= 0 - AD^2 + \frac{1}{2}AB^2 + 0 = -4^2 + \frac{1}{2}(8^2) = -16 + 32 = 16\).
Le produit scalaire est non nul, donc les droites ne sont pas perpendiculaires.
Partie C : Al-Kashi
- Longueur \(FG\) :
D'après le théorème d'Al-Kashi : \(FG^2 = EF^2 + EG^2 - 2 \times EF \times EG \times \cos(60^\circ)\).
\(FG^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \times 5 \times 8 \times 0,5 = 25 + 64 - 40 = 49\).
Donc \(FG = 7\).
- Produit scalaire :
\(\vec{EF} \cdot \vec{EG} = 5 \times 8 \times \cos(60^\circ) = 40 \times 0,5 = 20\).