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Exercice : Géométrie analytique et Produit Scalaire

Niveau : Première Spécialité Mathématiques
Thème : Coordonnées, mesure d'angles, orthogonalité et projections.

Énoncé

Exercice 1: Calculer un produit scalaire avec un angle

On considère un triangle \(ABC\) tel que \(AB = 5\), \(AC = 7\) et l'angle \(\widehat{BAC} = 60^\circ\).

  1. Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\).

  2. Déterminer la valeur exacte de \(\cos(\widehat{BAC})\).

  3. En déduire une mesure de l'angle \(\widehat{BAC}\) arrondie au dixième de degré.

Exercice 2: Produit scalaire et géométrie analytique

On considère un repère orthonormé \((O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\) et les points suivants : \(A(2 ; 3)\), \(B(5 ; 7)\) et \(C(1 ; 2)\).

  1. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

  2. Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\).

  3. Déterminer la valeur exacte de \(\cos(\widehat{BAC})\).

  4. En déduire une mesure de l'angle \(\widehat{BAC}\) arrondie au dixième de degré.

Exercice 3: Produit scalaire et projeté orthogonal

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  1. Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA}\)

Exercice 4: Calculs de produits scalaires et applications

Soit $\overrightarrow{u} $ et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs du plan de coordonnées respectives \((3 ; 4)\) et \((-2 ; 5)\).

  1. Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}\).

  2. Calculer les normes de \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\).

  3. Déterminer la valeur exacte de \(\cos(\widehat{u,v})\)

  4. En déduire une mesure de l'angle \(\widehat{u,v}\) arrondie au dixième de degré.

Exercice 5: Orthogonalité et produit scalaire

Dans chaque cas, calculer \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}\) en fonction de \(m\) et déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont orthogonaux.

  1. \(\overrightarrow{u}\left(-5; 2)\right)\) et \(\overrightarrow{v}\left(m; -2\right)\)

  2. \(\overrightarrow{u}\left(m-4; 2m+1\right)\) et \(\overrightarrow{v}\left(2m; 3-m\right)\)

  3. \(\overrightarrow{u}\left(m; 3-m\right)\) et \(\overrightarrow{v}\left(2; -m\right)\)