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Exercice : Géométrie analytique et Produit Scalaire

Niveau : Première Spécialité Mathématiques
Thème : Coordonnées, mesure d'angles, orthogonalité et projections.

Énoncé

Exercice 1: Calculer un produit scalaire avec un angle

On considère un triangle \(ABC\) tel que \(AB = 5\), \(AC = 7\) et l'angle \(\widehat{BAC} = 60^\circ\).

  1. Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\).

Correction : \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 5 \times 7 \times \cos(60^\circ) = 35 \times \frac{1}{2} = 17.5\)

  1. Déterminer la valeur exacte de \(\cos(\widehat{BAC})\).

Correction : \(\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{||\overrightarrow{AB}|| \times ||\overrightarrow{AC}||}\)

Calculons les normes :
\(||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{5^2} = 5\)
\(||\overrightarrow{AC}|| = \sqrt{7^2} = 7\)

\(\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{17.5}{5 \times 7} = \dfrac{17.5}{35} = \dfrac{1}{2}\)

  1. En déduire une mesure de l'angle \(\widehat{BAC}\) arrondie au dixième de degré.

\(\widehat{BAC} = \arccos\left(\dfrac{1}{2}\right) = 60^\circ\)

Exercice 2: Produit scalaire et géométrie analytique

On considère un repère orthonormé \((O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\) et les points suivants : \(A(2 ; 3)\), \(B(5 ; 7)\) et \(C(1 ; 2)\).

  1. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

Correction :
\(\overrightarrow{AB} = (5 - 2 ; 7 - 3) = (3 ; 4)\)
\(\overrightarrow{AC} = (1 - 2 ; 2 - 3) = (-1 ; -1)\)

  1. Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\).

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \times (-1) + 4 \times (-1) = -3 - 4 = -7\)

  1. Déterminer la valeur exacte de \(\cos(\widehat{BAC})\).

\(\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{||\overrightarrow{AB}|| \times ||\overrightarrow{AC}||}\)

Calculons les normes :
\(||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)
\(||\overrightarrow{AC}|| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\)

\(\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{-7}{5 \times \sqrt{2}} = \dfrac{-7}{5\sqrt{2}}\)

  1. En déduire une mesure de l'angle \(\widehat{BAC}\) arrondie au dixième de degré.

\(\widehat{BAC} = \arccos\left(\dfrac{-7}{5\sqrt{2}}\right)\) Calculons cette valeur : \(\widehat{BAC} \approx \arccos(-0.9899) \approx 170.5^\circ\)

Exercice 3: Produit scalaire et projeté orthogonal

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  1. Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA}\)

\(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BH} = ||\overrightarrow{BC}|| \times ||\overrightarrow{BH}|| = 1 \times 2 = 2\)

Exercice 4: Calculs de produits scalaires et applications

Soit $\overrightarrow{u} $ et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs du plan de coordonnées respectives \((3 ; 4)\) et \((-2 ; 5)\).

  1. Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}\).

Correction : \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 3 \times (-2) + 4 \times 5 = -6 + 20 = 14\)

  1. Calculer les normes de \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\).

Correction : \(||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)

\(||\overrightarrow{v}|| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}\)

  1. Déterminer la valeur exacte de \(\cos(\widehat{u,v})\)

Correction :

\(\cos(\widehat{u,v}) = \dfrac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}||} = \dfrac{14}{5\sqrt{29}}\)

  1. En déduire une mesure de l'angle \(\widehat{u,v}\) arrondie au dixième de degré.

Correction :

\(\widehat{(u,v)} = \arccos\left(\dfrac{14}{5\sqrt{29}}\right)\)

Calculons cette valeur :

\(\widehat{(u,v)} \approx \arccos(0.822) \approx 35.1^\circ\)

Exercice 5: Orthogonalité et produit scalaire

Dans chaque cas, calculer \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}\) en fonction de \(m\) et déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont orthogonaux.

  1. \(\overrightarrow{u}\left(-5; 2)\right)\) et \(\overrightarrow{v}\left(m; -2\right)\)

Correction :

\(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (-5) \times m + 2 \times (-2) = -5m - 4\)

Pour que les vecteurs soient orthogonaux, il faut que \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0\) :

\(-5m - 4 = 0 \Rightarrow m = -\frac{4}{5}\)

  1. \(\overrightarrow{u}\left(m-4; 2m+1\right)\) et \(\overrightarrow{v}\left(2m; 3-m\right)\)

Correction :

\(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (m-4) \times 2m + (2m+1) \times (3-m)\)

\(= 2m^2 - 8m + 6m -2m^2 + 3 - m\)

\(= -3m+3\)

Pour que les vecteurs soient orthogonaux, il faut que \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0\) :

$-3m+3 = 0 $ soit \(m = 1\)

  1. \(\overrightarrow{u}\left(m; 3-m\right)\) et \(\overrightarrow{v}\left(2; -m\right)\)

Correction :

\(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = m \times 2 + (3-m) \times (-m)\)

\(= 2m - 3m + m^2\)

\(= m^2 - m\)

Pour que les vecteurs soient orthogonaux, il faut que \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0\) :

\(m^2 - m = 0 \Rightarrow m(m - 1) = 0\)

Les solutions sont \(m = 0\) ou \(m = 1\).

Pour \(m = 0\), \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0\) et les vecteurs sont orthogonaux.

Pour \(m = 1\), \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0\) et les vecteurs sont également orthogonaux.